首先，劳务派遣员工不辞而别自身应承担责任。派遣公司与派遣员工签订劳动合，其中约定派遣员工派往用工单位工作，并且就双方权利和义务作了详细规定。劳务派遣员工应该按照此劳动合同对用工单位承担相应的劳动义务。如果劳务人员因故需要离开用工单位，需要经用工单位书面同意后，应与用工单位办理交接手续。没有履行该义务的，自动离职的员工需承担违约责任。

其次，如果劳务派遣员工不辞对用人单位造成经济损失的，作为派遣单位应承担连带赔偿责任。原因是用工单位与派遣单位之间有合同关系，双方通过签订劳务派遣协议明确权利和义务关系。根据协议派遣单位应履行保证派遣的劳务人员服从用工单位管理，严格按照用工单位的工作进度计划和要求展开工作的义务。若劳动过程中出现问题，用工单位有权向派遣单位索赔，派遣单位可以就损失向劳动者追偿。如果用工单位损失比较大，找劳动者个人在执行上也有难度，派遣单位应当与派遣人员承担连带责任。

最后，如果该派遣员工在此期间与其他公司签订劳动合同，该擅自录用自动离职员工的用人单位也应当承担责任。因此，用人单位在招入新员工的时候，一定要有该员工上家单位提供的解除劳动关系的证明，否则，可能会带来很******烦。